When is sin(x) rational?

很久很久以前在學弟那看到一個問題:$\sin1^{\circ}$ ~ $\sin89^{\circ}$ 中只有 $\sin30^{\circ}$ 為有理數。

看到的一題

Given $a > 0, a\neq 1$, $\forall n \in \mathbb{N}$, we have

$$ \frac{1+a^2+a^4+\cdots + a^{2n}}{a+a^3+\cdots+a^{2n-1}} > \frac{n+1}{n} $$