在平方數跟立方數中求生存的數字

26 實在是個很有趣的數字啊!

題目

$x, y \in\mathbb{N},$ find all $x, y$ such that $x^3 = y^2+2$

這題的解法可以參考這篇 The number 26, between 25 and 27 Resolution of the diophantine equation y^3 − x^2 = 2

不過我自己也想了一個比較基礎的解法,證明答案只有 $x,y = (3,5)$。 😃

解法

  1. 容易得知 $y \ne 1$
  2. 又 $y^3-y^2 = y^{2}(y-1) > 2, \forall y > 1$,所以 $x^3 = y^2+2 < y^3, y>1 $。因此可以假設 $y=x+k, k\in\mathbb{N}$,即 $x^3 = (x+k)^2+2$
  3. 考慮以下情況,然後討論就可以了
    • $x > k$
    • $x \leq k$

Case 1

$$ \begin{aligned} &(x+k)^2+2=x^3 \geq (k+1)x^2\\ \implies &2kx+k^2+2 \geq kx^2\\ \implies &2 \geq k(x^2-2x-k) \end{aligned} $$

因為 $1\leq k < x\in \mathbb{N}$,從上面的式子看來可以得到

  • 若 $x^2-2x-k\leq 0$,則 $x^2-2x+1 \leq k+1 \leq x$,即 $x^2-3x+1 \leq 0$。整理一下可以得到 $x,k = (2,1)$,但這個答案不對。
  • 反之, $k$ 被限縮在 $1, 2$,整理一下可得正整數解 $x,k = (3,2)$,$x,y = (3,5)$。

Case 2

$$ \begin{aligned} &(x+x)^2 < (x+k)^2+2\\ \implies &3x^2-2kx-k^2 < 2\\ \implies &(3x+k)(x-k)< 2 \end{aligned} $$

但 $3x+k > 2$,所以 $x=k$。但這導致 $x^3 = 4x^2+2$,然而沒有一個整數的三次方 mod 4 會餘 2,所以這個情形下無解。

updatedupdated2020-10-022020-10-02