六十六學年度大學聯考甲丙組數學試題

在八卦版看到有人貼出這份 考卷 就手癢試算。

考了一小時,我獲得了 44 分 🤓

細節如下,下面列出我的計算過程。

題號得分
14
33
44
55
65
103
113
124
135
174
184

Q1 ✔

$$ \text{行列式 } \left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 4 & 8 & 16\\ 3 & 9 & 27 & 81\\ 4 & 16 & 64 & 256\\ \end{array}\right| = $$
  1. 用行運算把第一行變成 $[1, 0, 0, 0]$ 來降階,
  2. 提出公因數
  3. 暴力求解即可

Q3 ✔

設 $f(x)=x^{100}+x^{50}+1$,則 $f(-\frac{1+i}{\sqrt{2}})$ 之值等於:

令 $k=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ 可得 $k^2=i$

所以 $f(k)=i^{50}+i^{25}+1 = i$

Q4 ✔

續上題,採用科學記法,令 $\left|f(-1-i)\right|=\beta\cdot10^n$,其中 $n$ 為一整數,$\beta$ 為一實數,$1\leq\beta<10$;試問下列敘述何者為真?

令 $ k = -1-i = \sqrt{2}(\cos\theta+i\sin\theta)$ 則

$$ \left|f(k)\right| = \left|k^{100} + k^{50} + 1\right| \approx \sqrt{2}^{100} = (2^{10})^5 \approx (10^3)^5 = 10^{15} $$

所以 $n=15$

Q5 ✔

(利用數學歸納法) 設 $n$ 為正整數,則 $3^{2n+1}+5^{2n-1}$ 恆

令原式為 $a_n$,可知

$$ a_n=\left\{ \begin{aligned} &32 &,n=1\\ &368 &,n=2\\ &27\times9^{n-1}+5\times25^{n-1} &,n\geq 3 \end{aligned} \right. $$

令 $b_n\equiv a_n \pmod {16}$ 則

$$ b_n\equiv\left\{ \begin{aligned} &0 &,n=1\\ &0 &,n=2\\ &11\times9^{n-1}+5\times9^{n-1}\equiv16\times9^{n-1}\equiv0 &,n\geq 3 \end{aligned} \right. $$

Q6 ✔

在 $(X,Y)$ 座標平面上,$\triangle$ 為以 $(0.0), (1.0), (0.1)$ 為頂點的三角形,在 $\triangle$ 的周界上,函數 $f(x,y) = x^3+y^3-3xy$ 的最大值為 $M$,最小值為 $m$,則

$\triangle$ 上三條邊分別為 $x=0$, $y=0$ 跟 $x+y=1$

  1. 在 $x=0$ 上,$0\leq f(x,y)\leq1$
  2. 在 $y=0$ 上,$0\leq f(x,y)\leq1$
  3. 在 $x+y=1$ 上,可知 $f(x,y) = (x+y)^3-6xy = 1-6xy$ 所以 $-\frac{1}{2}\leq f(x,y)\leq1$

因此 $M=1, m=-\frac{1}{2}$

Q10 ✔

題目不抄了,如果不會就令 $A=(-1,0)$,$B=(2,0)$,然後根據 $(0,0)$ 來調整係數

Q11 ✔

題目不抄了,如果不會就令 $A=(-1,0)$,$B=(1,0)$,然後根據 $(0,0)$ 來調整係數

Q12 ✔

設 $f(x) = ax^2+bx+c$,其中 $a, b, c$ 為實數而且 $a>0$,又 $[\alpha, \beta]$ 為實數軸上之一有限閉區閒,則:

直接令 $f(x)=x^2$ 跟 $\alpha=-1, \beta=1$ 就看出來了

Q13 ✔

今有黑、白、紅、黃、綠、紫六種顏色的塗料,欲在邊長為單位長的立方體(即正六面體)上塗色,每面塗一色,且各面所塗色皆不同,試問可塗成幾類?(若兩個塗上色的此種立方體,各自自由翻轉能使它們變成一模一樣,則此兩個歸屬同一類)

考慮塗在骰子上。

依據 $(1,6)、(2,5)、(3,4)$ 分為三個顏色組合,分法是 ${6\choose2}\times{4\choose2}\times{2\choose2} = 90$

然而以下三種情況等價,所以答案 = $90/3=5\cdot3!$

  • (點數16, 顏色16)(點數25, 顏色25)(點數34, 顏色34)
  • (點數16, 顏色34)(點數25, 顏色16)(點數34, 顏色25)
  • (點數16, 顏色25)(點數25, 顏色34)(點數34, 顏色16)

Q17 ✔

對任意一個從 $\mathcal{R}$ (實數系)到 $\mathcal{R}$ 的函數 $f(x)$,我們可相應地定義一個函數 $g(x)$ 如 $g(x)=f(-x)$,那麼:

  1. 如果 $g=f$,則稱 $f$ 為偶函數
  2. 如果 $g=-f$,則稱 $f$ 為奇函數
  3. 如果某個從 $\mathcal{R}$ 到 $\mathcal{R}$ 的函數可表為一個偶函數與一個奇函數之和,則稱此函數為 $T$ 型函數

下列敘述何者為真?

a) 對。所有 $f(x)$ 而言

$$ f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2} $$

其中前者為偶函數,後者為奇函數。

b) 對。對於任意 $x$ 而言

$$ \begin{aligned} k_1(x)-k_2(x) &= h_2(x)-h_1(x)\\ &= h_2(-x)-h_1(-x)\\ &= k_1(-x)-k_2(-x)\\ &= -(k_1(x)-k_2(x)) \end{aligned} $$

所以 $k_1(x)-k_2(x)=0, \forall x$,因此 $h_1(x)=h_2(x), k_1(x)=k_2(x)$

c) 錯。考慮 $f(x)=x+1$。

d) 對。不解釋。

e) 錯。考慮 $f(x)=x$

Q18 ✔

續上題,假設 $f(x)$ 是個 $T$ 型函數,因而是一個偶函數 $h(x)$ 與一個奇函數 $k(x)$ 的和,現在我們想找一組實數常數 $a,b,c,d$,使得 $h=af+bg, k=cf+dg$;下列敘述何者為真?

承上題 a) 可知 $h=\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}g$ 跟 $k=\frac{1}{2}f-\frac{1}{2}g$。所以

a), b) 都對。

c) 錯。考慮 $h=af+ag=aO$,其中 $O$ 為零函數,$a$ 可為任意數

d) 錯。考慮 $f(x)$ 為偶函數。則 $k=cf-cg=cO$,其中 $O$ 為零函數,$c$ 可為任意數

e) 錯。$ad-bc=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$

updatedupdated2021-12-032021-12-03