雙週一題 108-02

108學年度第二學期問題及解答,我只解到第 6 題。 😓

Q1 ✔

假設 $n$ 是一個最小正整數,其為 3 與 4 的倍數,在十進位中,$n$ 出現的數字只有 3 及 4 且各數字至少一個。請問:$n$ 值為何?

因為 $n$ 是 3 的倍數,且數字中必須有 3 跟 4,所以最少要 1 個 3 與 3 個 4。又 3444 為此種情形下的最小解,故 $n = 3444$

Q2 ✔

袋中有編號 $1, 2, 3, \dots, 90$ 號的球各一個,設每一球被取到的機會相等,今由袋中一次任取一球,每次取完後均放回袋中再取。令 $a_n$ 表取完 $n$ 次後所取球號總和為 4 的倍數的機率,求 $a_4$

暴力解法:

  • 法 1:每次選擇都有 4 種情況,全部列出並加總找出 4 的倍數即可
  • 法 2:計算每次取完為除 4 餘 0~3 的組合,並用馬可夫鍊去算。

答案為 0.249999969516842。

Q3 ✔

已知正整數中前 $m$ 個正奇數和比前 $n$ 個正偶數和大 2020。請問:所有可能的 $n$ 之和為何?

$m$ 個正奇數和 = $m^2$,前 $n$ 正偶數和 = $n(n+1)$。所以整理一下可以得到

$$ (2m+2n+1)(2m-2n-1) = 8079 = 2693\times3 = 8079\times1 $$

因為 $m,n$ 皆為整數,可得 $(m,n) = (674,672) = (2020,2019)$,所以答案為 $2691.$

Q4 ✔

設兩矩陣 $\bf{P, Q}$ 滿足

$$ \left\{ \begin{array}{c} 7{\bf P}+8{\bf Q} = {\bf A}\\ {\bf P}+{\bf Q} = {\bf I_2} \end{array} \right. $$

,其中

$$ {\bf A} = \begin{bmatrix} 11 & -3 \\ 4 & 4 \end{bmatrix}, {\bf I_2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, $$

${\bf A^{21}} = a{\bf P} + b{\bf Q}$,求 $(a, b)$

易解出

$$ {\bf P} = \begin{bmatrix} -3 & 3 \\ -4 & 4 \end{bmatrix}, {\bf Q} = \begin{bmatrix} 4 & -3 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}, $$

且容易得出 ${\bf P^2 = P, Q^2 = Q, PQ=O_2}$,其中

$$ {\bf O_2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, $$

最後可得 ${\bf A^{21} = 7^{21}P + 8^{21}Q}$, 所以答案 $(a,b)=(7^{21}, 8^{21}).$

Q5 ✔

$P(x)$ 為整係數多項式滿足 $P(17)=11$$P(25)=19$。假設 $P(n)=n+8$ 有兩個不同整數解 $n_1$$n_2$$(n_1 < n_2)$,試求 $n_1, n_2$

容易得知 $P(x)=(x-17)(x-25)Q(x)+x-6$

要求 $P(x)=x+8$ 的整數解,等同於求 $(x-17)(x-25)Q(x)=14$ 的整數解。

因數分解 $14$ 可得以下 4 組解

$$ 1\times2\times7 = 1\times-2\times-7 = -1\times2\times-7 = -1\times-2\times7. $$

$x-17 = (x-25)+8$,所以可知 $x-17=1$$x-17=7$,即 $x=18,24$。所以 $n_1=18, n_2=24$

Q6 ✔

四邊形 ABCD,$\overline{AB} = 8, \overline{BC} = 15, \overline{CD} = 17, \overline{DA} = 10$,求四邊形 ABCD 的內切圓之最大面積。

$x$ 為內切圓之半徑,$\angle{ADC} = \theta_1, \angle{ABC} = \theta_2$,可得四邊形 ABCD 面積為

$$ \frac{(10+8+15+17)x}{2} = \frac{17\times10\times\sin{\theta_1}}{2} + \frac{8\times15\times\sin{\theta_2}}{2} $$

兩邊整理一下可得到式一:

$$ 25x^2 = (17\sin{\theta_1})^2 + 2\times17\times12\times\sin{\theta_1}\times\sin{\theta_2} + (12\sin{\theta_2})^2 $$

$\overline{AC}$ 長度為

$$ 17^2+10^2-2\times10\times17\times\cos{\theta_1} = 15^2+8^2-2\times15\times8\times\cos{\theta_2} $$

兩邊整理一下可得到式二:

$$ 25 = (17\cos{\theta_1})^2 - 2\times17\times12\times\cos{\theta_1}\times\cos{\theta_2} + (12\cos{\theta_2})^2 $$

所以式一加式二得到

$$ x^2 = \frac{17^2+12^2-25-2\times17\times12\times\cos(\theta_1+\theta_2)}{25} $$
所以當 $\theta_1+\theta_2 = \pi$ 時,圓有最大面積 $\frac{816\pi}{25}$
updatedupdated2021-06-172021-06-17