雙週一題 110-01

110 學年度第一學期問題及解答

Q1 ✔

下列方程組

$$ \left\{ \begin{aligned} x + y &= 3(z + u)\\ x + z &= 5(y + u)\\ x + u &= 7(y + z) \end{aligned} \right. $$
的解 $(x, y, z, u)$,其中 $x、y、z、u$ 皆為正整數,求 $x$ 可能的最小值為何?

暴力解:可得 $x:y:z:u = 35:1:5:7$,所以 $x$ 最小值為 $35$。

Q2 ✔

設 $x, y\in \mathbb{R}$,求 $\sqrt{x^2+y^2-6x+4y+17} + \sqrt{x^2+y^2+6x-8y+50}$ 的最小值。

找出空間一點 $(x,y,0)$ 與 $(3,-2,\pm2)$ 跟 $(-3,-4,\pm5)$ 的距離和最短。經過一番簡單計算可以得到 $(x,y)=(\frac{9}{7},\frac{-2}{7})$ 有最小值 $11$。

Q3 ✔

設 $\frac{1}{2a}+\frac{1}{3b}=30$,其中 $a, b$ 為正數,求 $3\log_{\frac{1}{6}}a+2\log_{\frac{1}{6}}b$ 的最大值。

因為 $180 = \frac{3}{a} + \frac{2}{b} \geq 5\sqrt[5]{\frac{1}{a^3b^2}}$,所以 $a^3b^2 \leq{\frac{1}{6}}^{10}$。又題目所求原式可寫成 $\log_{\frac{1}{6}}{a^3b^2}$ 所以答案為 $10.$

Q4 ✔

如下圖,大圓的半徑為 $10$,小圓的半徑為 $4$,$A$ 在大圓的圓周上且為小圓的圓心,$\overline{BC}$ 為大圓的弦且與小圓相切。若 $\overline{AB} = 16$ ,則 $\overline{AC}$ =?

NSYSU-110-01-Q4

令大圓圓心為 $O$,點 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的垂足為 $M$。設圓周角 $\angle{ABC}=\theta$,則圓心角 $\angle{AOC}=2\theta$。

從 $\triangle ABM$ 可得 $\sin\theta = \frac{1}{4}$。而從 $\triangle ACO$ 可得 $\cos 2\theta = \frac{200-\overline{AC}^2}{200}=1-\frac{\overline{AC}^2}{200}$。

於是由兩倍角公式可得到 $\overline{AC} = 5$

Q5 ✔

將一個圓分成 $12$ 個相等的扇形,並用紅藍綠三種顏色塗上顏色,相鄰的扇形顏色不同,則有幾種塗色方法?(註:不考慮旋轉的情形)

將題目考慮分成 $n\ge2$ 個扇形且編號為 $1$ ~ $n$。令有效的塗色方法為 $C(n)$。則編號為 $1$ 與 $n-1$ 同色的情況等價於 $C(n-2)$。異色則是等價於 $C(n-1)$。因此可以得到

$$ C(n) = C(n-1)+2\times C(n-2) $$

又 $C(2) = C(3) = 6$,所以 $C(12) = 4098$。

Q6 ✔

試求函數 $f(x)$,對任意實數 $x$,$\lvert x\rvert\neq 1$,滿足 $f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x}) = x$

令 $y=\frac{x-3}{x+1}$ 可得 $f(y)+f(\frac{y-3}{1+y})=\frac{y+3}{1-y}$,即

$$ f(x)+f(\frac{x-3}{1+x})=\frac{x+3}{1-x} $$

同理,令 $y=\frac{3+x}{1-x}$ 亦有

$$ f(x)+f(\frac{x+3}{1-x})=\frac{x-3}{1+x} $$

又 $f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x}) = x$,所以兩式相加得到答案 $f(x) = \frac{4x}{1-x^2}+\frac{x}{2}$。

updatedupdated2021-12-032021-12-03