畢氏三元數

Project Euler 中偶爾會遇到 畢氏三元數,才知道原來跟它不是很熟啊! 😣

解題時通常會將 $a^2+b^2=c^2$ 的 $a,b,c$ 轉成兩個正整數 $m>n$ 以下列方式表示:

$$ \begin{align*} a &= m^2-n^2\\ b &= 2mn\\ c &= m^2+n^2 \end{align*} $$

裡面有一題有提到一個有趣的性質[1]

如果 $c$ 也是一個正整數 $k$ 的平方,那三角形面積必定是 7 的倍數

證明如下:

因為 $c=k^2$ 且 $c=m^2+n^2$, 可以得到另一組 $(m,n,k)$ 滿足畢氏定理。因此依樣畫葫蘆可以用正整數 $x>y$ 來建構出 $m, n, k$。

$$ \begin{align*} m &= x^2-y^2\\ n &= 2xy\\ k &= x^2+y^2 \end{align*} $$

然後不要動腦,用暴力法列出所有情況就可以得到結論了。 😛


  1. 不影響解題樂趣,有調整內容敘述。

updatedupdated2021-12-032021-12-03