有趣的一題

很久以前在 FB 上看到的這題

求證不等式 對於實數 $x$,$\cos(\sin x) > \sin(\cos x)$

有人貼了很乾淨的解法:

因為 $\sin(\cos(x)) = \sin(\cos(-x))$ 跟 $\cos(\sin(x)) = \cos(-\sin(x)) = \cos(\sin(x))$,所以只需對 $x\in [0, \pi]$ 證明即可。

當 $x \in [0, \pi/2]$ 時,因為 $\sin(x) + \cos(x)\leq\sqrt{2} < \pi/2$,所以 $\sin(\cos(x)) < \sin(\pi/2 - \sin(x)) = \cos(\sin(x))$

當 $x \in (\pi/2, \pi]$ 時,顯然 $\sin(\cos(x)) < 0 < \cos(\sin(x))$ 得證。

cos(sin(x))>sin(cos(x))

updatedupdated2021-10-222021-10-22