ptt-math [其他] 連加的益智題

文章:http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1340716565.A.698.html

題目: Consider the equation $\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x_k^2} = 1.$ For which $n$ such that the equation has positive integer solution $x_k$ ?

Note it is know that $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}$ and $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}.$


解答:首先不失一般性,可以假設 $x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_n$

接著我們有以下解

$$ \begin{cases} n = 1&\frac{1}{1}\\ n = 4&\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\\ n = 6&\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}\\ n = 7&\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}\\ n = 8&\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} \end{cases} $$

而下面這個等式說明如果 $N$ 有解,那就可以拓展到 $N+3$ 也有解。

$$ \frac{1}{a^2} = \frac{1}{(2a)^2} + \frac{1}{(2a)^2} + \frac{1}{(2a)^2} + \frac{1}{(2a)^2}, $$

於是對於所有 $n=1, 4$ 或 $n \ge 6$ 的情況都能找到整數解。


如果 $n=2\text{ 或 }3$ 都會得到 $x_1=1$ 的矛盾。

$$ \begin{cases} n = 2&\implies\frac{2}{x_1^2}\geq1&\implies x_1=1\\ n = 3&\implies\frac{3}{x_1^2}\geq1&\implies x_1=1 \end{cases} $$

最後當 $n=5$ 用同樣的方法可以知道 $x_1 = 2$

  • 假設 $x_4 \geq 3$ 得到以下矛盾
$$ \sum\limits_{k=1}^5 \frac{1}{x_k^2} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{35}{36} < 1 $$
  • 假設 $x_4 = 2$,表示 $x_1 = x_2 = x_3 = x_4=2$ 則得到以下矛盾
$$ \sum\limits_{k=1}^5 \frac{1}{x_k^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{x_5^2} = 1 + \frac{1}{x_5^2} > 1 $$

於是 $\forall n\in\mathbb{N}$ 其中 $n\neq 2, 3, 5$ 都會有解。

updatedupdated2021-05-012021-05-01