[多項式] 插值多項式的幾種解法

前兩天在 youtube 看到這題

已知 $\deg(f(x))\le3$. 若 $f(1981) = 1$, $f(1982) = 9$, $f(1983) = 8$ and $f(1984)=5$, 求 $f(1985)=?$

因為我才疏學淺沒看過他的速算法~ 😢 只好用自己會的方法算一遍

令 $f(x) = A{(x-1983)}^3+B{(x-1983)}^2+C(x-1983)+f(1983)$ 則

$$ \begin{align*} f(1985) + f(1981) &= 8B+2f(1983)& (*1)\\ f(1984) + f(1982) &= 2B+2f(1983)& (*2)\\ \end{align*} $$

利用 $4\times(*2)-(*1)$ 得到

$4f(1984) + 4f(1982) - f(1985) - f(1981) = 6f(1983)$

結果整理一下就是影片提的速算法啊~ 😂

$$ f(1981) - 4f(1982) + 6f(1983) - 4f(1984) + f(1985) = 0 $$

另外這篇 插值多項式的幾種解法 也提到了其他種解法,

updatedupdated2021-12-032021-12-03